30th January 2024, 21 min read

Das äußere Produkt und Determinanten

Original post is here eklausmeier.goip.de/blog/2024/01-29-aeusseres-produkt-und-determinanten.

1. Das äußere Produkt
2. Definition einer Determinante
3. Eigenschaften einer Determinante
4. Der Laplacesche Entwicklungssatz
5. Weitere Folgerungen aus dem Satz von Cauchy/Binet

1. Das äußere Produkt

Es gibt eine Fülle von Möglichkeiten Determinanten einzuführen. Ein Weg ist, über das äußere Produkt zu gehen. Die folgenden Ausführungen erfolgen in enger Anlehnung an das Buch Matrizenrechnung von Wolfgang Gröbner (1966).

Es sei $K$ ein beliebiger Körper. Jeden Vektor eines $n$ -dimensionalen Vektorraumes über $K$ kann man darstellen als Linearkombination der Basisvektoren (im weiteren Einheiten genannt)

\begin{aligned} a & = a_{1} ε_{1} + a_{2} ε_{2} + \dots + a_{n} ε_{n}, \\ b & = b_{1} ε_{1} + b_{2} ε_{2} + \dots + b_{n} ε_{n}, \end{aligned} a_{i}, b_{i} \in K .

Das äußere Produkt (Zeichen $\land$ ) wird zunächst für die Einheiten erklärt:

ε_{i} \land ε_{k} := ε_{i k} := ε_{k i}

a \land b = \sum a_{i} b_{k} (ε_{i} \land ε_{k}) = \sum a_{i} b_{k} ε_{i k} = \sum_{i < k} (a_{i} b_{k} - a_{k} b_{i}) ε_{i k}

a \land b = - (b \land a)

insbesondere

\begin{matrix} a \land a = 0, (λ a) \land b = a \land (λ b) = λ \cdot (a \land b), \\ a \land (b + c) = (a \land b) + (a \land c), (b + c) \land a = (b \land a) + (c \land a) . \end{matrix}

Im $C^{3}$ kann dem äußeren Produkt eine anschauliche Bedeutung beigelegt werden. Identifiziert man

ε_{12} = ε_{3}, ε_{23} = ε_{1}, ε_{31} = ε_{2},

liegen also die Einheiten höherer Stufe wieder im ursprünglichen Vektorraume, so gilt in diesem Falle für das äußere Produkt, welches man auch vektorielles Produkt nennt (Schreibweise: $a \times b$ )

a \land b = a \times b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) ε_{1} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) ε_{2} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) ε_{3} .

Die Verallgemeinerung auf das äußere Produkt von Vektoren höherer Stufe geschieht nach der Regel

ε_{i_{1}} \land ε_{i_{2}} \land \dots \land ε_{i_{k}} := ε_{i_{1} i_{2} \dots i_{k}},

entsprechend

ε_{i_{1} i_{2} \dots i_{k}} \land ε_{j_{1} j_{2} \dots j_{ℓ}} = ε_{i_{1}} \land ε_{i_{2}} \land \dots \land ε_{i_{k}} \land ε_{j_{1}} \land ε_{j_{2}} \land \dots \land ε_{j_{ℓ}} .

Unter einem Vektor $k$ -ter Stufe versteht man allgemein eine Linearform in den $(\binom{n}{k})$ Einheiten $k$ -ter Stufe. Summe, Differenz und inneres Produkt solcher Vektoren sind nach den üblichen Regeln der Algebra erklärt. Man darf also Vektoren derselben Stufe beliebig mit Skalaren multiplizieren und addieren.

1. Satz: Sind $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ Vektoren 1-ter Stufe, so ändert sich das äußere Produkt nicht, wenn man zu einem dieser Vektoren, etwa $a_{1}$ , ein lineares Kompositum der übrigen Vektoren addiert:

a_{1} \land a_{2} \land \dots \land a_{k} = (a_{1} + λ_{2} a_{2} + \dots + λ_{k} a_{k}) \land a_{2} \land \dots \land a_{k}, \forall λ_{2}, \dots, λ_{k} \in K .

Der Beweis ergibt sich durch direktes Ausmultiplizieren der rechten Seite. Bis auf den ersten Summand verschwinden alle weiteren Summanden, da bei allen anderen Produkten, außer dem ersten, stets zwei gleiche Vektoren miteinander äußerlich multipliziert werden.

2. Definition einer Determinante

1. Während das Produkt von $k$ Vektoren erster Stufe insgesamt $(\binom{n}{k})$ Komponenten hat, so hat insbesondere das Produkt von $n$ Vektoren nur noch eine Komponente. Diese Komponente heißt eine Determinante.

a_{1} \land a_{2} \land \dots \land a_{n} = \sum a_{1 i_{1}} a_{2 i_{2}} \dots a_{n i_{n}} ε_{i_{1}} \land ε_{i_{2}} \land \dots ε_{i_{n}} .

Alle Glieder, welche das Produkt von zwei Einheiten mit gleichem Index enthalten, verschwinden. Für die Determinante schreibt man

| A | = | a_{i k} | = \sum \pm a_{1 i_{1}} a_{2 i_{2}} \dots a_{n i_{n}},

wobei $\pm = (- 1)^{i_{1} + \dots + i_{n}}$ .

2. Beispiel: $n = 2$ : Es ist

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12} .

$n = 3$ : Hier berechnet man $| A |$ zu

a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{32} a_{23} a_{11} - a_{33} a_{21} a_{12} .

Aufgrund der hohen Anzahl der Summanden, nämlich $n!$ (jeder Summand ist $n$ -faches Produkt), benutzt man zur eigentlichen Berechnung von Determinanten i.d.R. ab $n \geq 3$ Determinantenregeln.

3. Mit Hilfe von Determinanten lassen sich auch die Produkte von weniger als $n$ Vektoren genauer ausschreiben. Das Produkt von

a = a_{1} ε_{1} + a_{2} ε_{2} + \dots + a_{n} ε_{n}, b = b_{1} ε_{1} + b_{2} ε_{2} + \dots + b_{n} ε_{n},

ist

a \land b = \sum_{i < k} | a_{i}, b_{k} | ε_{i k},

wo $| a_{i}, b_{k} | = | \binom{a_{i}, a_{k}}{b_{i}, b_{k}} |$ bedeutet. Für einen weiteren dritten Vektor

c = c_{1} ε_{1} + c_{2} ε_{2} + \dots + c_{n} ε_{n},

gilt

a \land b \land c = \sum_{i < j < k} | a_{i}, b_{j}, c_{k} | ε_{i j k},

mit

| a_{i}, b_{j}, c_{k} | = | \begin{matrix} a_{i} & a_{j} & a_{k} \\ b_{i} & b_{j} & b_{k} \\ c_{i} & c_{j} & c_{k} \end{matrix} |

3. Eigenschaften einer Determinante

1. Bemerkung: Es gelten:

(1) Die Determinante einer quadratischen Matrix $A = (a_{i k})$

| A | = | a_{i k} | = \sum \pm a_{1 i_{1}} a_{2 i_{2}} \dots a_{n i_{n}},

ist eine homogene, lineare Funktion der Elemente einer jeden Zeile und einer jeden Spalte.

(2) Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen oder zwei Spalten miteinander vertauscht.

(3) Eigenschaft (1) und (2) sind für eine Determinante charakteristisch. Bis auf eine Normierung durch einen Skalar, gibt es keine weiteren multilinearen, alternierenden Formen dieser Art.

2. Satz: Ist $Φ : GL (n, K) \to K^{\times}$ eine Abbildung mit $Φ (A B) = Φ (A) Φ (B)$ , für alle $A, B \in GL (n, K)$ , dann gibt es $φ : K^{\times} \to K^{\times}$ , mit $φ (α β) = φ (α) φ (β)$ , für alle $α, β \in K^{\times}$ und es ist $Φ (A) = φ (det A)$ , für alle $A \in GL (n, K)$ .

Beweis: siehe Max Koecher (1985), S.119. ☐

3. Siehe Wolfgang Gröbner (1966). Es seien $A = (a_{i k})$ und $B = (b_{i k})$ zwei $n$ -zeilige quadratische Matrizen, $C = (c_{i k}) = A B$ sei die Produktmatrix. Es ist $c_{i k} = \sum a_{i j} b_{j k}$ . Die Zeilenvektoren von $C$ sind

c_{i} = \sum_{k} c_{i k} ε_{k} = \sum_{j, k} a_{i j} b_{j k} ε_{k} = \sum_{j} a_{i j} b_{j},

wobei $b_{j} = \sum b_{j k} ε_{k}$ die Zeilenvektoren von $B$ bedeuten. Nun ist

\begin{aligned} c_{1} \land c_{2} \land \dots \land c_{n} & = | C | ε_{12 \dots n} \\ = (a_{11} b_{1} + a_{12} b_{2} + \dots + a_{1 n} b_{n}) \land \dots \land (a_{n 1} b_{1} + a_{n 2} b_{2} + \dots + a_{n n} b_{n}) \\ = | A | b_{1} \land b_{2} \land \dots \land b_{n} = | A | | B | ε_{12 \dots n} . \end{aligned}

Durch Vergleich der ersten und letzten Zeile sieht man $| C | = | A | | B |$ , also $| A B | = | A | | B |$ .

4. Der oben abgeleitete Determinantenproduktsatz, wie auch letztlich das kanonische Skalarprodukt, ist ein Spezialfall der Formel von Cauchy/Binet, auch Determinantenproduktsatz für rechteckige Matrizen genannt. Cauchy, Augustin Louis (1789--1857) Binet, Jacques Philipe Marie (1786--1856)

Es sei $A = (a_{i k})$ eine $m \times n$ -Matrix, $B = (b_{k ℓ})$ eine $n \times s$ -Matrix. Ihr Produkt $A B = C = (c_{i ℓ})$ ist eine $m \times s$ -Matrix mit den Elementen

c_{i ℓ} = \sum_{k} a_{i k} b_{k ℓ}, i = 1, \dots, m, ℓ = 1, \dots, s .

Jeder Zeilenvektor $c_{i}$ von $C$ ist

c_{i} = \sum_{ℓ} c_{i ℓ} ε_{ℓ} = \sum_{k, ℓ} a_{i k} b_{k ℓ} ε_{ℓ} = \sum_{k} a_{i k} b_{k},

mit den Zeilenvektoren $b_{k}$ der Matrix $B$ zu $b_{k} = \sum_{ℓ} b_{k ℓ} ε_{ℓ}$ . Nun ist

\begin{aligned} c_{1} \land c_{2} \land \dots \land c_{m} & = \sum_{ℓ} C \binom{ℓ_{1}}{1} \binom{ℓ_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{ℓ_{m}}{m} ε_{ℓ_{1} ℓ_{2} \dots ℓ_{m}} \\ = \sum_{k} A \binom{k_{1}}{1} \binom{k_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{m}}{m} (b_{k_{1}} \land b_{k_{2}} \land \dots \land b_{k_{m}}) \\ = \sum_{k, ℓ} A \binom{k_{1}}{1} \binom{k_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{m}}{m} B \binom{ℓ_{1}}{k_{1}} \binom{ℓ_{2}}{k_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{ℓ_{m}}{k_{m}} ε_{ℓ_{1} ℓ_{2} \dots ℓ_{m}}, \end{aligned}

Durch Vergleich der Koeffizienten vor $ε_{ℓ_{1} ℓ_{2} \dots ℓ_{m}}$ findet man

\sum_{k, ℓ} A \binom{k_{1}}{1} \binom{k_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{m}}{m} B \binom{ℓ_{1}}{k_{1}} \binom{ℓ_{2}}{k_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{ℓ_{m}}{k_{m}} = C \binom{ℓ_{1}}{1} \binom{ℓ_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{ℓ_{m}}{m}

5. Diese Formel kann man noch etwas verallgemeinern, wenn man statt $c_{1} \land c_{2} \land \dots \land c_{m}$ das äußere Produkt von irgend welchen $r$ Zeilenvektoren $c_{i_{1}} \land c_{i_{2}} \land \dots \land c_{i_{r}}$ auf genau die gleiche Weise auswertet:

\sum_{k, ℓ} A \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} B \binom{ℓ_{1}}{k_{1}} \binom{ℓ_{2}}{k_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{ℓ_{r}}{k_{r}} = C \binom{ℓ_{1}}{i_{1}} \binom{ℓ_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{ℓ_{m}}{i_{m}}

In Worten: Jede $r$ -zeilige Unterdeterminante der Produktmatrix ist darstellbar als Summe von Produkten $r$ -reihiger Unterdeterminanten aus $A$ und $B$ , die so kombiniert sind, daß jeweils die Spaltenindizes der ersten mit den Spaltenindizes der zweiten übereinstimmen, während die Zeilenindizes der ersten und die Spaltenindizes der zweiten mit den entsprechenden Indizes in der Produktmatrix übereinstimmen.

6. Man untersucht nun Spezialfälle der obigen Formel. Ist $r = m = s$ (also $C$ quadratisch), so hat man

| C | = \sum_{k} A \binom{k_{1}}{1} \binom{k_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{m}}{m} B \binom{1}{k_{1}} \binom{2}{k_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{m}{k_{m}}

Ist $n < m$ , so gilt $| C | = 0$ . Setzt man $B = A^{⊤}$ , dann ist einerseits

c_{i ℓ} = \sum_{k} a_{i k} a_{ℓ k} = a_{i} \cdot a_{ℓ},

mit den Zeilenvektoren $a_{i}$ der Matrix $A$ . Andererseits ist $B \binom{1}{k_{1}} \binom{2}{k_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{m}{k_{m}} = A \binom{k_{1}}{1} \binom{k_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{m}}{m}$ und zusammen mit

a_{i_{1}} \land a_{i_{2}} \land \dots \land a_{i r} = \sum_{k} A \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} ε_{k_{1} k_{2} \dots k_{r}},

ergibt sich

\begin{matrix} (*) & | A A^{⊤} | = | a_{i} \cdot a_{k} | = \sum {(A \binom{k_{1}}{1} \binom{k_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{m}}{m})}^{2} = {| a_{1} \land a_{2} \land \dots \land a_{m} |}^{2} . \end{matrix}

Eine Anwendung dieser Formel liefert mit $m = 2$ und $A = (\binom{a_{1} a_{2} \dots a_{m}}{b_{1} b_{2} \dots b_{m}})$ die Formel von Lagrange, Lagrange, Joseph Louis (1736--1813)

| a \times b | = \sum_{i < k} {(a_{i} b_{k} - a_{k} b_{i})}^{2} = (\sum a_{i}^{2}) (\sum b_{k}^{2}) - {(\sum a_{i} b_{k})}^{2} = {| a |}^{2} {| b |}^{2} - (a b)^{2} .

Sind die $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ paarweise othogonal, also

a_{i} \cdot a_{k} = {\begin{cases} 0, & für i \neq k, \\ {| a_{i} |}^{2}, & für i = k, \end{cases}

so folgt unmittelbar aus $(*)$

| a_{1} \land a_{2} \land \dots \land a_{m} | = | a_{1} | \cdot | a_{2} | \dots | a_{m} | .

In Worten: Der Betrag des äußeren Produktes von paarweise othogonalen Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Beträge. Dies ist die anschauliche Bedeutung des Spatproduktes. Das Volumen, welches von paarweise othogonalen Vektoren aufgespannt wird, ist gleich dem Produkt der Seitenlängen.

4. Der Laplacesche Entwicklungssatz

1. Siehe Wolfgang Gröbner (1966). Es seien $(i_{1}, \dots, i_{r})$ und $(i_{1}^{'}, \dots, i_{s}^{'})$ zueinander komplementäre Anordnungen, also $r + s = n$ ,

i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r}, i_{1}^{'} < i_{2}^{'} < \dots < i_{s}^{'},

und $(i_{1}, \dots, i_{r}, i_{1}^{'}, \dots, i_{s}^{'})$ ist eine Permutation von $(1, 2, \dots, n)$ , also $s = n - r$ . Komplementär geordnete Anordnungen $(i_{1}, \dots, i_{r}, i_{1}^{'}, \dots, i_{s}^{'})$ brauchen

(i_{1} - 1) + (i_{2} - 2) + \dots + (i_{r} - r) = i_{1} + i_{2} + \dots + i_{r} - \frac{r}{2} (r + 1)

Transpositionen um die natürliche Anordnung $(1, \dots, n)$ zu erreichen.

Durch Zusammenfassen von Zeilenvektoren von $A$ rechnet man

\begin{aligned} | A | ε_{1 \dots n} & = a_{1} \land \dots \land a_{n} \\ = (- 1)^{p} (a_{i_{1}} \land \dots \land a_{i_{r}}) \land (a_{i_{1}^{'}} \land \dots \land a_{i_{n - r}^{'}}) \\ = (- 1)^{p} (\sum_{k} A \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} ε_{k_{1} \dots k_{r}}) \land (\sum_{k} A \binom{k_{1}^{'}}{i_{1}^{'}} \binom{k_{2}^{'}}{i_{2}^{'}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{n - r}^{'}}{i_{n - r}^{'}} ε_{k_{1}^{'} \dots k_{n - r}^{'}}) \\ = \sum_{k} (- 1)^{m + p} A \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} A \binom{k_{1}^{'}}{i_{1}^{'}} \binom{k_{2}^{'}}{i_{2}^{'}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{n - r}^{'}}{i_{n - r}^{'}} ε_{1 \dots n} . \end{aligned}

mit

p = i_{1} + \dots + i_{r} - \frac{r}{2} (r + 1), m = k_{1} + \dots + i_{r} - \frac{r}{2} (r + 1),

und es wurde benutzt

ε_{k_{1} \dots k_{r}} \land ε_{k_{1}^{'} \dots k_{n - r}^{'}} = ε_{k_{1} \dots k_{r} k_{1}^{'} \dots k_{n - r}^{'}} = (- 1)^{m} ε_{1 \dots n},

oder allgemeiner

ε_{k_{1} \dots k_{r}} \land ε_{ν_{1} \dots ν_{n - r}} = ε_{k_{1} \dots k_{r} ν_{1} \dots ν_{n - r}} = {\begin{cases} (- 1)^{m} ε_{1 \dots n}, & falls ν_{1} = k_{1}^{'}, \dots, ν_{n - r} = k_{n - r}^{'}, \\ 0, & sonst. \end{cases}

Zur Schreibvereinfachung definiert man das algebraische Komplement $α \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}}$ zu

α \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} := (- 1)^{i_{1} + \dots + i_{r} + k_{1} + \dots + k_{r}} A \binom{k_{1}^{'}}{i_{1}^{'}} \binom{k_{2}^{'}}{i_{2}^{'}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}^{'}}{i_{r}^{'}} .

Statt algebraisches Komplement sagt man auch Adjunkte der Unterdeterminante $A \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}}$ . Mit dieser Notation erhält man den

2. Satz: Allgemeiner Laplacescher Entwicklungssatz. Laplace, Pierre Simon (1749--1827). Man erhält den Wert der $n$ -reihigen Determinante $| A |$ , entwickelt nach nach den Zeilen $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{r}$ , ( $1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r} \leq n$ ), indem man alle $r$ -reihigen Unterdeterminanten dieser $r$ Zeilen bildet, sie mit ihren algebraischen Komplementen multipliziert und dann addiert:

\begin{aligned} | A | & = \sum_{k} A \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} α \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}}, \\ | A | & = \sum_{i} A \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} α \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} . \end{aligned}

Die Summen sind über alle $(\binom{n}{r})$ Kombination $(k_{1}, \dots, k_{r})$ , bzw. $(i_{1}, \dots, i_{r})$ zu erstrecken.

3. Nach dem oben hergeleiteten gilt offensichtlich leicht allgemeiner

\sum_{k} A \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} α \binom{k_{1}}{ℓ_{1}} \binom{k_{2}}{ℓ_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{ℓ_{r}} = {\begin{cases} | A |, & falls i_{ν} = ℓ_{ν}, \\ 0, & sonst. \end{cases}

Für $r = 1$ erhält man das übliche Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte insbesondere

(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} α_{1}^{1} & \dots & α_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ α_{1}^{n} & \dots & α_{n}^{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} | A | & 0 \\ ⋱ \\ 0 & | A | \end{matrix}) .

Wie üblich für $ξ_{i}^{j}$ : $i$ Zeilenindex, $j$ Spaltenindex, für $(α)$ also transponierte Matrix. Damit liegt eine explizite Beschreibung der inversen Matrix vor, also $α_{i}^{j} / | A |$ für das $(j, i)$ -Element der Inversen.

4. Satz: (Minor Inverser) Es sei $B = A^{- 1}$ , wobei $A$ invertierbar sei. Jeden Minor der Inversen kann man ausdrücken durch die Adjunkte der Ursprungsmatrix:

B \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} = \frac{α \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}}}{| A |} = \frac{(- 1)^{m}}{| A |} A \binom{k_{1}^{'}}{i_{1}^{'}} \binom{k_{2}^{'}}{i_{2}^{'}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{n - r}^{'}}{i_{n - r}^{'}}, m = i_{1} + \dots + i_{r} + k_{1} + \dots + k_{r} .

Beweis: Nach Cauchy/Binet ist

\begin{matrix} (*) & \sum_{k} A \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} B \binom{ℓ_{1}}{k_{1}} \binom{ℓ_{2}}{k_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{ℓ_{r}}{k_{r}} = {\begin{cases} 1, & falls i_{ν} = ℓ_{ν} \forall ν, \\ 0, & sonst. \end{cases} \end{matrix}

Nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz ist

\sum_{k} A \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} α \binom{k_{1}}{ℓ_{1}} \binom{k_{2}}{ℓ_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{ℓ_{r}} = {\begin{cases} | A |, & falls i_{ν} = ℓ_{ν} \forall ν, \\ 0, & sonst. \end{cases}

Es sind $(A \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}})_{k}$ und $(α \binom{ℓ_{1}}{k_{1}} \binom{ℓ_{2}}{k_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{ℓ_{r}}{k_{r}})_{k}$ beides Matrizen mit $(\binom{n}{r}) = (\binom{n}{n - r})$ Zeilen und Spalten. Nach $(*)$ ist $(B \binom{ℓ_{1}}{k_{1}} \binom{ℓ_{2}}{k_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{ℓ_{r}}{k_{r}})_{k}$ offensichtlich Inverse, genauso aber auch $α \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} / | A |$ . Da Inversen eindeutig bestimmt sind, folgt Gleichheit. ☐

5. Beispiel: Sowohl für Cauchy/Binet, Laplaceschen Entwicklungssatz als auch Minoren Inverser. Es seien

A = (\begin{matrix} 13 & 14 & 6 & 4 \\ 8 & - 1 & 13 & 9 \\ 6 & 7 & 3 & 2 \\ 9 & 5 & 16 & 11 \end{matrix}), A^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 0 & - 2 & 0 \\ - 5 & 1 & 11 & - 1 \\ 287 & - 67 & - 630 & 65 \\ - 416 & 97 & 913 & - 94 \end{matrix}) .

(1) Die Determinante von $A$ berechnet man z.B. so:

| A | = A_{12}^{12} A_{34}^{34} - A_{12}^{13} A_{34}^{24} + A_{12}^{14} A_{34}^{23} + A_{12}^{23} A_{34}^{14} - A_{12}^{24} A_{34}^{13} + A_{12}^{34} A_{34}^{12} = 1.

Hierbei muß nicht wie bei dem Laplaceschen Entwicklungssatz nach einer Zeile (oder Spalte) immer ein Vorzeichenwechsel von einem Term zum nächsten stattfinden.

(2) Es ist $A B =: C = I$ . Also nach Cauchy/Binet wie oben $(\binom{4}{2})$ Summanden

C_{23}^{34} = | \begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} | = A_{23}^{12} B_{12}^{34} + A_{23}^{13} B_{13}^{34} + A_{23}^{14} B_{14}^{23} + A_{23}^{23} B_{23}^{34} + A_{23}^{24} B_{24}^{34} + A_{23}^{34} B_{34}^{34} = 0.

(3) Für den Minor $B_{12}^{34}$ der Inversen $B$ rechnet man

B_{12}^{34} = | \begin{matrix} - 2 & 0 \\ 11 & - 1 \end{matrix} | = \frac{(- 1)^{10}}{1} A_{12}^{34} = | \begin{matrix} 6 & 4 \\ 13 & 9 \end{matrix} | = 2,

genauso

B_{23}^{24} = | \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 67 & 65 \end{matrix} | = (- 1)^{11} A_{13}^{14} = - | \begin{matrix} 13 & 4 \\ 6 & 2 \end{matrix} | = - 2.

5. Weitere Folgerungen aus dem Satz von Cauchy/Binet

Aufgrund seiner großen Bedeutung sei für den Determinantenmultiplikationssatz von Cauchy/Binet ein weiterer Beweis angegeben, der nicht Bezug nimmt auf das äußere Produkt.

1. Satz: (Satz von Cauchy/Binet) Es sei $C = A B$ . Dann gilt $C_{1 \dots r}^{1 \dots r} = \sum_{i} A \binom{i_{1}}{1} \binom{i_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{i_{r}}{r} B \binom{1}{i_{1}} \binom{2}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{r}{i_{r}}$ .

Beweis: (für Cauchy/Binet) siehe Gantmacher, Felix R. (1908--1964), Gantmacher (1986). Man rechnet

\begin{aligned} | \begin{matrix} c_{11} & \dots & c_{1 r} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{r 1} & \dots & c_{r r} \end{matrix} | & = | \begin{matrix} \sum_{i_{1} = 1}^{n} a_{1 i_{1}} b_{i_{1} 1} & \dots & \sum_{i_{r} = 1}^{n} a_{1 i_{r}} b_{i_{r} r} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \sum_{i_{1} = 1}^{n} a_{r i_{1}} b_{i_{1} 1} & \dots & \sum_{i_{r} = 1}^{n} a_{r i_{r}} b_{i_{r} r} \end{matrix} | \\ = \sum_{i_{1}, \dots, i_{r} = 1}^{n} | \begin{matrix} a_{1 i_{1}} b_{i_{1} 1} & \dots & a_{1 i_{r}} b_{i_{r} r} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{r i_{1}} b_{i_{1} 1} & \dots & a_{r i_{r}} b_{i_{r} r} \end{matrix} | \\ = \sum_{i_{1}, \dots, i_{r} = 1}^{n} A \binom{i_{1}}{1} \binom{i_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{i_{r}}{r} b_{i_{1} 1} \dots b_{i_{r} r} . \end{aligned}

Unter allen $n^{r}$ Summanden sind nur $n (n - 1) \dots (n - r + 1) = (\binom{n}{r}) r!$ Summanden von Interesse, bei denen die Minoren $A \binom{i_{1}}{1} \binom{i_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{i_{r}}{r}$ nicht zwei, drei, $\dots$ , $r$ gleiche Spalten enthalten. Von den $(\binom{n}{r}) r!$ sind aber wiederum nur $(\binom{n}{r})$ echt verschieden, die restlichen sind nichts anderes als Vertauschungen zweier Spalten. Also rechnet man weiter

\begin{aligned} \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{r} \leq n} \sum_{(ν_{1}, \dots, ν_{r}) \in P e r m (i_{1}, \dots, i_{r})} σ (ν_{1}, \dots, ν_{r}) A \binom{i_{1}}{1} \binom{i_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{i_{r}}{r} b_{ν_{1} 1} \dots b_{ν_{r} r} \\ = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{r} \leq n} A \binom{i_{1}}{1} \binom{i_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{i_{r}}{r} \sum σ (ν_{1}, \dots, ν_{r}) b_{ν_{1} 1} \dots b_{ν_{r} r} \\ = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{r} \leq n} A \binom{i_{1}}{1} \binom{i_{2}}{2} \binom{\dots}{\dots} \binom{i_{r}}{r} B \binom{1}{i_{1}} \binom{2}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{r}{i_{r}} . \end{aligned}

☐

2. Der Satz von Cauchy/Binet liest sich für mehr als zwei Matrizen wie folgt

\begin{aligned} (A B)_{i}^{j} & = \sum_{k} A_{i}^{k} B_{k}^{j}, \\ (A B C)_{i}^{j} & = \sum_{k, ℓ} A_{i}^{k} B_{k}^{ℓ} C_{ℓ}^{j}, \\ (A B C D)_{i}^{j} & = \sum_{k, ℓ, m} A_{i}^{k} B_{k}^{ℓ} C_{ℓ}^{m} D_{m}^{j}, \\ (A B C D E)_{i}^{j} & = \sum_{k, ℓ, m, p} A_{i}^{k} B_{k}^{ℓ} C_{ℓ}^{m} D_{m}^{p} E_{p}^{j} . \end{aligned}

3. Es sei

A_{p} := (A \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{p}}{i_{p}})_{i_{1} < \dots < i_{p}, k_{1} < \dots < k_{p}} \in C [(\binom{n}{p}) \times (\binom{n}{p})]

die ^{ $p$ -te assoziierte Matrix} zu $A$ .

Die Anordnungen seien in lexikographischer Reihenfolge durchlaufen. Beispielsweise erhält man für eine $4 \times 4$ Matrix $A$ die $6 \times 6$ Matrix

A_{6} = (\begin{matrix} A_{12}^{12} & A_{12}^{13} & \dots & A_{12}^{34} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{34}^{12} & A_{34}^{13} & \dots & A_{34}^{34} \end{matrix})

Eine Umformulierung des Satzes von Cauchy/Binet ist: Aus $C = A B$ folgt $C_{p} = A_{p} B_{p}$ , $p = 1, 2, \dots, n$ . Insbesondere: Aus $B = A^{- 1}$ folgt $B_{p} = A_{p}^{- 1}$ , $p = 1, 2, \dots, n$ .

4. Satz: Es sei $A = (a_{i j})_{i, j = 1}^{n}$ und

| A - λ I | = (- λ)^{n} + c_{n - 1} (- λ)^{n - 1} + c_{n - 2} (- λ)^{n - 2} + \dots + c_{1} (- λ) + c_{0} .

Dann gilt

c_{n - 1} = \sum_{1 \leq i \leq n} a_{i i}, c_{n - 2} = \sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} \leq n} A_{i_{1} i_{2}}^{i_{1} i_{2}}, c_{n - 3} = \sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < i_{3} \leq n} A_{i_{1} i_{2} i_{3}}^{i_{1} i_{2} i_{3}}, \dots, c_{0} = A_{1 \dots n}^{1 \dots n} = | A | .

Beweis: Siehe Felix Ruvimovich Gantmacher (1908--1964), Gantmacher, 1986, "Matrizentheorie", §3.7. Die Potenz $(- λ)^{n - p}$ tritt in denjenigen Termen von $| A - λ I |$ auf, die

a_{k_{1} k_{1}} - λ, a_{k_{2} k_{2}} - λ, \dots, a_{k_{n - p} k_{n - p}} - λ, k_{1} < \dots < k_{n - p}

enthalten. Anwendung des allgemeinen Laplaceschen Entwicklungssatzes entwickelt nach $(k_{1}, \dots, k_{n - p})$ liefert

| A - λ I | = (a_{k_{1} k_{1}} - λ) (a_{k_{2} k_{2}} - λ) \dots (a_{k_{n - p} k_{n - p}} - λ) A_{i_{1} \dots i_{p}}^{i_{1} \dots i_{p}} + Rest,

wobei $(i_{1}, \dots, i_{p})$ die zu $(k_{1}, \dots, k_{n - p})$ komplementäre Anordnung ist, also ${k_{1}, \dots, k_{n - p}, i_{1}, \dots, i_{p}} = {1, \dots, n}$ . Bildet man alle möglichen $(\binom{n}{n - p}) = (\binom{n}{p})$ Kombinationen von $n - p$ Elementen $k_{1} < \dots < k_{n - p}$ , die besagte Diagonalelemente enthalten, so erhält man genau $(\binom{n}{p})$ Minoren als Summe, die die Koeffizienten vor $(- λ)^{n - p}$ ausmachen. ☐

5. Beispiel: zu $c_{n - k} = \sum_{i} A \binom{i_{1}}{i_{1}} \binom{i_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{i_{k}}{i_{k}}$ im Falle $n = 3$ . Für

| \begin{matrix} a_{11} - λ & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} - λ & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} - λ \end{matrix} |

erhält man

\begin{aligned} (- λ)^{3} + (a_{11} + a_{22} + a_{33}) λ^{2} + (a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12} a_{11} a_{33} - a_{31} a_{13} + a_{22} a_{33} - a_{32} a_{23}) (- λ) + | A | \\ = (- λ)^{3} + (A_{1}^{1} + A_{2}^{2} + A_{3}^{3}) λ^{2} + (A_{12}^{12} + A_{13}^{13} + A_{23}^{23}) (- λ) + | A | . \end{aligned}

6. Eine direkte Folge ist der Vietascher Wurzelsatz. Vieta (siehe Viète), Fran\c cois Viéte (1540--1603). Entweder benutzt man eine Jordansche Normalform ( $A = X J X^{- 1}$ ) oder eine Schursche Normalform ( $A = U T U^{*}$ ). Das charakteristische Polynom bleibt bei einer Ähnlichkeitstransformation invariant, daher

c_{n - k} = \sum_{i_{1} < \dots < i_{k}} λ_{i_{1}} \dots λ_{i_{k}} = \sum_{i_{1} < \dots < i_{k}} A \binom{i_{1}}{i_{1}} \binom{i_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{i_{k}}{i_{k}} .

Es wird nicht behauptet, daß i.a. $λ_{i_{1}} \dots λ_{i_{k}} = A \binom{i_{1}}{i_{1}} \binom{i_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{i_{k}}{i_{k}}$ . Beispielsweise für eine invertierbare Begleitmatrix $C_{1} \in C^{n \times n}$ gilt $λ_{1} \dots λ_{k} \neq (C_{1})_{1 \dots k}^{1 \dots k} = 0$ , für $k < n$ .

7. Satz: Bei zwei diagonalähnlichen Matrizen $A, B \in C^{n \times n}$ mögen sämtliche Eigenvektoren gleich sein. Dann gilt: $A B = B A$ , d.h. $A$ und $B$ kommutieren.

Beweis: $X$ enthalte sämtliche Eigenvektoren, $D_{1} = diag λ_{i}$ , $D_{2} = diag μ_{i}$ , $A = X D_{1} X^{- 1}$ , $B = X D_{2} X^{- 1}$ . Also $A B = X D_{1} X^{- 1} X D_{2} X^{- 1} = X D_{1} D_{2} X^{- 1} = X D_{2} X^{- 1} X D_{1} X^{- 1} = B A$ . ☐

8. Satz: Es gelte $A B = B A$ . Dann gilt: $A$ und $B$ haben gemeinsame Eigenvektoren.

Beweis: Siehe James H. Wilkinson (1919--1986), Wilkinson (1965) "The Algebraic Eigenvalue Problem", siehe Gantmacher, Felix R. (1908--1964), Gantmacher (1986) "Matrizentheorie", §9.10. Für ein beliebiges Eigenelement $(λ, x)$ von $A$ gilt $A B^{k} x = λ B^{k} x$ , $k = 0, 1, 2, \dots$ In der Vektorfolge $x$ , $B x$ , $B^{2} x$ , $\dots$ seien die ersten $p$ Vektoren linear unabhängig, also der $(p + 1)$ -te Vektor $B^{p} x$ ist eine Linearkombination der $p$ vorhergehenden. Der Unterraum $S := ⟨ x, B x, \dots, B^{p - 1} x ⟩$ ist bzgl. $B$ invariant, also $B S \subseteq S$ , daher existiert ein Eigenvektor $y \in S$ für $B | S$ , damit auch für $B$ . $A B^{k} x = λ B^{k} x$ zeigt, daß $x$ , $B x$ , $B^{2} x$ , $\dots$ Eigenvektoren zum selben Eigenwert $λ$ sind. Insbesondere jede Linearkombination dieser Vektoren ist Eigenvektor von $A$ , also auch $y \in S$ . ☐

9. Bemerkung: Beim Beweis war wesentlich, daß $B$ einen Eigenvektor besitzt. Bei komplexen Matrizen ist dies aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra klar. Bei reellen Matrizen (über $R$ ) braucht kein reeller Eigenwert zu existieren und somit auch kein Eigenvektor. Die Drehungsmatrix $T = (\binom{\cos α - \sin α}{\sin α \cos α})$ hat für geeignetes $α$ keinen reellen Eigenwert. Anschaulich ist dies ersichtlich, weil nicht jede Drehung streckt, staucht oder Fixpunkte hat. Algebraisch ist dies ersichtlich, weil $det (A - λ I) = λ^{2} - 2 λ \cos α + 1 = (λ - \cos α)^{2} + (1 - \cos^{2} α)$ nicht für jedes $α$ über $R$ zerfällt. Sehr wohl hat $T$ jedoch in $C$ die beiden Eigenwerte $λ = \pm i \sin α$ . Der Satz bleibt richtig, wenn man im Reellen zusätzlich fordert, daß $B$ nur reelle Eigenwerte hat, z.B. falls $B$ hermitesch ist. Der Satz bleibt auch richtig, wenn man voraussetzt: $A$ und $B$ enthalten $1 \times 1$ Jordanblöcke (lineare Elementarteiler).

10. Satz: Es sei $A \in C^{m \times n}$ und $B \in C^{n \times m}$ . Sind beide Matrizen quadratisch ( $m = n$ ) so haben $A B$ und $B A$ dasselbe charakteristische Polynom und damit die gleichen Eigenwerte samt Multiplizitäten. Im Falle $m \neq n$ haben $A B$ und $B A$ die gleichen Eigenwerte samt Multiplizitäten außer, daß das Produkt der höheren Ordnung $| m - n |$ zusätzliche Nullen im Spektrum hat.

Beweis: siehe Wilkinson, J.H., Wilkinson (1965). Es ist

| \begin{matrix} I & 0 \\ - B & μ I \end{matrix} | | \begin{matrix} μ I & A \\ B & μ I \end{matrix} | = | \begin{matrix} μ I & A \\ 0 & μ^{2} I - B A \end{matrix} |

und

| \begin{matrix} μ I & - A \\ 0 & I \end{matrix} | \underset{=: α}{\underset{⏟}{| \begin{matrix} μ I & A \\ B & μ I \end{matrix} |}} = | \begin{matrix} μ^{2} I - A B & 0 \\ B & μ I \end{matrix} | .

Also

μ^{n} α = μ^{n} | μ^{2} I - B A | = μ^{n} | μ^{2} I - A B | .

Für $μ = 0$ beachte man $| A B | = | B A |$ . Der Fall $m \neq n$ wird genauso bewiesen. ☐

Den Beweis hätte man auch direkt über die Koeffizienten des charakteristischen Polynomes führen können. Nämlich mit

\begin{aligned} | A B - λ I | & = (- λ)^{n} + c_{n - 1} (- λ)^{n - 1} + \dots + c_{1} (- λ) + c_{0}, \\ | B A - λ I | & = (- λ)^{n} + d_{n - 1} (- λ)^{n - 1} + \dots + d_{1} (- λ) + d_{0}, \end{aligned}

berechnet man die $c_{i}$ und $d_{i}$ zu

c_{n - k} = \sum_{i} (A B) \binom{i_{1}}{i_{1}} \binom{i_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{i_{k}}{i_{k}} = \sum_{i, ℓ} A_{i}^{ℓ} B_{ℓ}^{i}, d_{n - k} = \sum_{i} (B A)_{i}^{i} = \sum_{i, ℓ} B_{i}^{ℓ} A_{ℓ}^{i} .

Vertauschung von $i$ und $ℓ$ in einer der beiden Summen zeigt Gleichheit, einmal abgesehen von möglichen “Stellenverschiebungen”. Also $c_{n - k + ℓ} = d_{n - k}$ , was aber gerade Multiplikation des charakteristischen Polynomes mit $λ^{ℓ}$ bedeutet.