30th January 2024, 20 min read

Das äußere Produkt und Determinanten

Original post is here eklausmeier.goip.de/blog/2024/01-29-aeusseres-produkt-und-determinanten.

1. Das äußere Produkt

Es gibt eine Fülle von Möglichkeiten Determinanten einzuführen. Ein Weg ist, über das äußere Produkt zu gehen. Die folgenden Ausführungen erfolgen in enger Anlehnung an das Buch Matrizenrechnung von Wolfgang Gröbner (1966).

Es sei $K$ ein beliebiger Körper. Jeden Vektor eines $n$-dimensionalen Vektorraumes über $K$ kann man darstellen als Linearkombination der Basisvektoren (im weiteren Einheiten genannt)

$$ \eqalign{ a &= a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+\cdots+a_n\varepsilon_n,\cr b &= b_1\varepsilon_1+b_2\varepsilon_2+\cdots+b_n\varepsilon_n,\cr } \qquad a_i, b_i\in K. $$

Das äußere Produkt (Zeichen $\land$) wird zunächst für die Einheiten erklärt:

$$ \varepsilon_i\land\varepsilon_k := \varepsilon_{ik} := \varepsilon_{ki} $$

$$ a\land b = \sum a_ib_k(\varepsilon_i\land\varepsilon_k) = \sum a_ib_k\varepsilon_{ik} = \sum_{i\lt k} (a_ib_k - a_kb_i)\varepsilon_{ik} $$

$$ a\land b=-(b\land a) $$

insbesondere

$$ \displaylines{ a\land a=0, \qquad (\lambda a)\land b = a\land(\lambda b) = \lambda\cdot(a\land b),\cr a\land(b+c) = (a\land b)+(a\land c), \qquad (b+c)\land a = (b\land a)+(c\land a).\cr } $$

Im $\mathbb{C}^3$ kann dem äußeren Produkt eine anschauliche Bedeutung beigelegt werden. Identifiziert man

$$ \varepsilon_{12}=\varepsilon_3, \quad \varepsilon_{23}=\varepsilon_1, \quad \varepsilon_{31}=\varepsilon_2, $$

liegen also die Einheiten höherer Stufe wieder im ursprünglichen Vektorraume, so gilt in diesem Falle für das äußere Produkt, welches man auch vektorielles Produkt nennt (Schreibweise: $a\times b$)

$$ a\land b = a\times b = (a_2b_3-a_3b_2)\varepsilon_1 +(a_3b_1-a_1b_3)\varepsilon_2+(a_1b_2-a_2b_1)\varepsilon_3. $$

Die Verallgemeinerung auf das äußere Produkt von Vektoren höherer Stufe geschieht nach der Regel

$$ \varepsilon_{i_1}\land\varepsilon_{i_2}\land\cdots\land\varepsilon_{i_k} := \varepsilon_{i_1i_2\ldots i_k}, $$

entsprechend

$$ \varepsilon_{i_1i_2\ldots i_k}\land\varepsilon_{j_1j_2\ldots j_\ell} = \varepsilon_{i_1}\land\varepsilon_{i_2}\land\cdots\land\varepsilon_{i_k} \: \land\: \varepsilon_{j_1}\land\varepsilon_{j_2}\land\cdots\land\varepsilon_{j_\ell}. $$

Unter einem Vektor $k$-ter Stufe versteht man allgemein eine Linearform in den $n\choose k$ Einheiten $k$-ter Stufe. Summe, Differenz und inneres Produkt solcher Vektoren sind nach den üblichen Regeln der Algebra erklärt. Man darf also Vektoren derselben Stufe beliebig mit Skalaren multiplizieren und addieren.

1. Satz: Sind $a_1,a_2,\ldots,a_k$ Vektoren 1-ter Stufe, so ändert sich das äußere Produkt nicht, wenn man zu einem dieser Vektoren, etwa $a_1$, ein lineares Kompositum der übrigen Vektoren addiert:

$$ a_1\land a_2\land\cdots\land a_k = (a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_ka_k) \land a_2\land\cdots\land a_k,\qquad\forall\lambda_2,\ldots,\lambda_k\in K. $$

Der Beweis ergibt sich durch direktes Ausmultiplizieren der rechten Seite. Bis auf den ersten Summand verschwinden alle weiteren Summanden, da bei allen anderen Produkten, außer dem ersten, stets zwei gleiche Vektoren miteinander äußerlich multipliziert werden.

$ \def\multisub#1#2{{\textstyle\mskip-3mu{\scriptstyle1\atop\scriptstyle#2_1}{\scriptstyle2\atop\scriptstyle#2_2}{\scriptstyle\ldots\atop\scriptstyle\ldots}{\scriptstyle#1\atop\scriptstyle#2_#1}}} \def\multisup#1#2{{\textstyle\mskip-3mu{\scriptstyle#2_1\atop\scriptstyle1}{\scriptstyle#2_2\atop\scriptstyle2}{\scriptstyle\ldots\atop\scriptstyle\ldots}{\scriptstyle#2_{#1}\atop\scriptstyle#1}}} \def\multisubsup#1#2#3{{\textstyle\mskip-3mu{\scriptstyle#3_1\atop\scriptstyle#2_1}{\scriptstyle#3_2\atop\scriptstyle#2_2}{\scriptstyle\ldots\atop\scriptstyle\ldots}{\scriptstyle#3_{#1}\atop\scriptstyle#2_{#1}}}} \def\diag{\mathop{\rm diag}} \def\tridiag{\mathop{\rm tridiag}} \def\col{\mathop{\rm col}} \def\row{\mathop{\rm row}} \def\dcol{\mathop{\rm col\vphantom {dg}}} \def\drow{\mathop{\rm row\vphantom {dg}}} \def\rank{\mathop{\rm rank}} \def\grad{\mathop{\rm grad}} \def\adj#1{#1^*} \def\iadj#1{#1^*} \def\tr{\mathop{\rm tr}} \def\mapright#1{\mathop{\longrightarrow}\limits^{#1}} \def\fracstrut{} $

2. Definition einer Determinante

1. Während das Produkt von $k$ Vektoren erster Stufe insgesamt $n\choose k$ Komponenten hat, so hat insbesondere das Produkt von $n$ Vektoren nur noch eine Komponente. Diese Komponente heißt eine Determinante.

$$ a_1\land a_2\land\cdots\land a_n = \sum a_{1i_1}a_{2i_2}\ldots a_{ni_n} \varepsilon_{i_1}\land\varepsilon_{i_2}\land\cdots\varepsilon_{i_n}. $$

Alle Glieder, welche das Produkt von zwei Einheiten mit gleichem Index enthalten, verschwinden. Für die Determinante schreibt man

$$ \left|A\right|=\left|a_{ik}\right|=\sum\pm a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n}, $$

wobei $\pm=(-1)^{i_1+\ldots+i_n}$.

2. Beispiel: $n=2$: Es ist

$$ \left|\matrix{a_{11}&a_{12}\cr a_{21}&a_{22}\cr}\right| = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}. $$

$n=3$: Hier berechnet man $\left|A\right|$ zu

$$ a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}. $$

Aufgrund der hohen Anzahl der Summanden, nämlich $n!$ (jeder Summand ist $n$-faches Produkt), benutzt man zur eigentlichen Berechnung von Determinanten i.d.R. ab $n\ge3$ Determinantenregeln.

3. Mit Hilfe von Determinanten lassen sich auch die Produkte von weniger als $n$ Vektoren genauer ausschreiben. Das Produkt von

$$ a = a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+\cdots+a_n\varepsilon_n,\qquad b = b_1\varepsilon_1+b_2\varepsilon_2+\cdots+b_n\varepsilon_n, $$

ist

$$ a\land b = \sum_{i\lt k} \left|a_i,b_k\right|\varepsilon_{ik}, $$

wo $\left|a_i,b_k\right|=\left|{a_i,a_k\atop b_i,b_k}\right|$ bedeutet. Für einen weiteren dritten Vektor

$$ c=c_1\varepsilon_1+c_2\varepsilon_2+\cdots+c_n\varepsilon_n, $$

gilt

$$ a\land b\land c=\sum_{i\lt j\lt k}\left|a_i,b_j,c_k\right|\varepsilon_{ijk}, $$

mit

$$ \left|a_i,b_j,c_k\right|=\left|\matrix{ a_i & a_j & a_k\cr b_i & b_j & b_k\cr c_i & c_j & c_k\cr }\right| $$

3. Eigenschaften einer Determinante

1. Bemerkung: Es gelten:

(1) Die Determinante einer quadratischen Matrix $A=(a_{ik})$

$$ \left|A\right|=\left|a_{ik}\right|=\sum\pm a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n}, $$

ist eine homogene, lineare Funktion der Elemente einer jeden Zeile und einer jeden Spalte.

(2) Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen oder zwei Spalten miteinander vertauscht.

(3) Eigenschaft (1) und (2) sind für eine Determinante charakteristisch. Bis auf eine Normierung durch einen Skalar, gibt es keine weiteren multilinearen, alternierenden Formen dieser Art.

2. Satz: Ist $\Phi\colon \mathop{\rm GL}(n,K)\rightarrow K^\times$ eine Abbildung mit $\Phi(AB)=\Phi(A)\Phi(B)$, für alle $A,B\in \mathop{\rm GL}(n,K)$, dann gibt es $\varphi\colon K^\times\rightarrow K^\times$, mit $\varphi(\alpha\beta)=\varphi(\alpha)\varphi(\beta)$, für alle $\alpha,\beta\in K^\times$ und es ist $\Phi(A)=\varphi(\det A)$, für alle $A\in \mathop{\rm GL}(n,K)$.

Beweis: siehe Max Koecher (1985), S.119. ☐

3. Siehe Wolfgang Gröbner (1966). Es seien $A=(a_{ik})$ und $B=(b_{ik})$ zwei $n$-zeilige quadratische Matrizen, $C=(c_{ik})=AB$ sei die Produktmatrix. Es ist $c_{ik}=\sum a_{ij}b_{jk}$. Die Zeilenvektoren von $C$ sind

$$ c_i = \sum_k c_{ik}\varepsilon_k = \sum_{j,k} a_{ij}b_{jk}\varepsilon_k = \sum_j a_{ij}b_j, $$

wobei $b_j=\sum b_{jk}\varepsilon_k$ die Zeilenvektoren von $B$ bedeuten. Nun ist

$$ \eqalign{ c_1\land c_2\land\cdots\land c_n &= \left|C\right|\varepsilon_{12\ldots n}\cr &= (a_{11}b_1+a_{12}b_2+\cdots+a_{1n}b_n)\land\cdots\land (a_{n1}b_1+a_{n2}b_2+\cdots+a_{nn}b_n)\cr &= \left|A\right| b_1\land b_2\land\cdots\land b_n = \left|A\right| \left|B\right| \varepsilon_{12\ldots n}. } $$

4. Der oben abgeleitete Determinantenproduktsatz, wie auch letztlich das kanonische Skalarprodukt, ist ein Spezialfall der Formel von Cauchy/Binet, auch Determinantenproduktsatz für rechteckige Matrizen genannt. Cauchy, Augustin Louis (1789--1857) Binet, Jacques Philipe Marie (1786--1856)

Es sei $A=(a_{ik})$ eine $m\times n$-Matrix, $B=(b_{k\ell})$ eine $n\times s$-Matrix. Ihr Produkt $AB=C=(c_{i\ell})$ ist eine $m\times s$-Matrix mit den Elementen

$$ c_{i\ell} = \sum_k a_{ik}b_{k\ell},\qquad i=1,\ldots,m,\quad \ell=1,\ldots,s. $$

Jeder Zeilenvektor $c_i$ von $C$ ist

$$ c_i = \sum_\ell c_{i\ell}\varepsilon_\ell = \sum_{k,\ell} a_{ik}b_{k\ell}\varepsilon_\ell = \sum_k a_{ik}b_k, $$

mit den Zeilenvektoren $b_k$ der Matrix $B$ zu $b_k = \sum_\ell b_{k\ell}\varepsilon_\ell$. Nun ist

$$ \eqalign{ c_1\land c_2\land\cdots\land c_m &= \sum_\ell C\multisup m\ell \varepsilon_{\ell_1\ell_2\ldots\ell_m}\cr &= \sum_k A\multisup mk (b_{k_1}\land b_{k_2}\land\cdots\land b_{k_m})\cr &= \sum_{k,\ell} A\multisup mk B\multisubsup mk\ell \varepsilon_{\ell_1\ell_2\ldots\ell_m},\cr } $$

Durch Vergleich der Koeffizienten vor $\varepsilon_{\ell_1\ell_2\ldots\ell_m}$ findet man

$$ \sum_{k,\ell} A\multisup mk B\multisubsup mk\ell = C\multisup m\ell % C_{12\ldots m}^{\ell_1\ell_2\ldots\ell_m}. $$

5. Diese Formel kann man noch etwas verallgemeinern, wenn man statt $c_1\land c_2\land\cdots\land c_m$ das äußere Produkt von irgend welchen $r$ Zeilenvektoren $c_{i_1}\land c_{i_2}\land\cdots\land c_{i_r}$ auf genau die gleiche Weise auswertet:

$$ \sum_{k,\ell} A\multisubsup rik B\multisubsup rk\ell = C\multisubsup mi\ell $$

In Worten: Jede $r$-zeilige Unterdeterminante der Produktmatrix ist darstellbar als Summe von Produkten $r$-reihiger Unterdeterminanten aus $A$ und $B$, die so kombiniert sind, daß jeweils die Spaltenindizes der ersten mit den Spaltenindizes der zweiten übereinstimmen, während die Zeilenindizes der ersten und die Spaltenindizes der zweiten mit den entsprechenden Indizes in der Produktmatrix übereinstimmen.

6. Man untersucht nun Spezialfälle der obigen Formel. Ist $r=m=s$ (also $C$ quadratisch), so hat man

$$ \left|C\right| = \sum_k A\multisup mk B\multisub mk $$

Ist $n<m$, so gilt $\left|C\right|=0$. Setzt man $B=A^\top$, dann ist einerseits

$$ c_{i\ell} = \sum_k a_{ik}a_{\ell k} = a_i\cdot a_\ell, $$

mit den Zeilenvektoren $a_i$ der Matrix $A$. Andererseits ist $B\multisub mk = A\multisup mk$ und zusammen mit

$$ a_{i_1}\land a_{i_2}\land\cdots\land a_{ir} = \sum_k A\multisubsup rik \varepsilon_{k_1k_2\ldots k_r}, $$

ergibt sich

$$ \left|AA^\top\right| = \left|a_i\cdot a_k\right| = \sum \left(A\multisup mk\right)^2 = \left|a_1\land a_2\land\cdots\land a_m\right|^2. \tag{*} $$

Eine Anwendung dieser Formel liefert mit $m=2$ und $A={a_1a_2\ldots a_m\choose b_1b_2\ldots b_m}$ die Formel von Lagrange, Lagrange, Joseph Louis (1736--1813)

$$ \left|a\times b\right| = \sum_{i\lt k} \left(a_ib_k-a_kb_i\right)^2 = \left(\sum a_i^2\right) \left(\sum b_k^2\right) - \left(\sum a_ib_k\right)^2 = \left|a\right|^2 \left|b\right|^2 - (ab)^2. $$

Sind die $a_1,a_2,\ldots,a_m$ paarweise othogonal, also

$$ a_i\cdot a_k = \cases{0,& für $i\ne k$,\cr \left|a_i\right|^2,& für $i=k$,} $$

so folgt unmittelbar aus $(*)$

In Worten: Der Betrag des äußeren Produktes von paarweise othogonalen Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Beträge. Dies ist die anschauliche Bedeutung des Spatproduktes. Das Volumen, welches von paarweise othogonalen Vektoren aufgespannt wird, ist gleich dem Produkt der Seitenlängen.

4. Der Laplacesche Entwicklungssatz

1. Siehe Wolfgang Gröbner (1966). Es seien $(i_1,\ldots,i_r)$ und $(i'_1,\ldots,i'_s)$ zueinander komplementäre Anordnungen, also $r+s=n$,

$$ i_1 \lt i_2 \lt \cdots \lt i_r, \qquad i'_1 \lt i'_2 \lt \cdots \lt i'_s, $$

und $(i_1,\ldots,i_r, i'_1,\ldots,i'_s)$ ist eine Permutation von $(1,2,\ldots,n)$, also $s=n-r$. Komplementär geordnete Anordnungen $(i_1,\ldots,i_r, i'_1,\ldots,i'_s)$ brauchen

$$ (i_1-1)+(i_2-2)+\cdots+(i_r-r) = i_1+i_2+\cdots+i_r - {r\over2}(r+1) $$

Transpositionen um die natürliche Anordnung $(1,\ldots,n)$ zu erreichen.

Durch Zusammenfassen von Zeilenvektoren von $A$ rechnet man

$$ \eqalignno{ \left|A\right| \varepsilon_{1\ldots n} &= a_1\land\cdots\land a_n \cr &= (-1)^p \left(a_{i_1}\land\cdots\land a_{i_r}\right) \land \left(a_{i'_1}\land\cdots\land a_{i'_{n-r}}\right) \cr &= (-1)^p \left(\sum_k A\multisubsup rik \varepsilon_{k_1\ldots k_r}\right) \land \left(\sum_k A\multisubsup {n-r}{i'}{k'} \varepsilon_{k'_1\ldots k'_{n-r}}\right) \cr &= \sum_k (-1)^{m+p} A\multisubsup rik A\multisubsup {n-r}{i'}{k'} \varepsilon_{1\ldots n}. \cr } $$

mit

$$ p = i_1+\cdots+i_r - {r\over2}(r+1),\qquad m = k_1+\cdots+i_r - {r\over2}(r+1), $$

und es wurde benutzt

$$ \varepsilon_{k_1\ldots k_r}\land\varepsilon_{k'_1\ldots k'_{n-r}} = \varepsilon_{k_1\ldots k_r k'_1\ldots k'_{n-r}} = (-1)^m \varepsilon_{1\ldots n}, $$

oder allgemeiner

$$ \varepsilon_{k_1\ldots k_r}\land\varepsilon_{\nu_1\ldots\nu_{n-r}} = \varepsilon_{k_1\ldots k_r\nu_1\ldots\nu_{n-r}} = \cases{ (-1)^m \varepsilon_{1\ldots n}, & falls $\nu_1=k'_1,\ldots,\nu_{n-r}=k'_{n-r}$,\cr 0, & sonst.\cr } $$

Zur Schreibvereinfachung definiert man das algebraische Komplement $\alpha\multisubsup rik$ zu

$$ \alpha\multisubsup rik := (-1)^{i_1+\cdots+i_r+k_1+\cdots+k_r} A\multisubsup r{i'}{k'}. $$

Statt algebraisches Komplement sagt man auch Adjunkte der Unterdeterminante $A\multisubsup rik$. Mit dieser Notation erhält man den

2. Satz: Allgemeiner Laplacescher Entwicklungssatz. Laplace, Pierre Simon (1749--1827). Man erhält den Wert der $n$-reihigen Determinante $\left|A\right|$, entwickelt nach nach den Zeilen $i_1,i_2,\ldots,i_r$, ($1\le i_1<i_2<\ldots<i_r\le n$), indem man alle $r$-reihigen Unterdeterminanten dieser $r$ Zeilen bildet, sie mit ihren algebraischen Komplementen multipliziert und dann addiert:

$$ \eqalignno{ \left|A\right| &= \sum_k A\multisubsup rik \alpha\multisubsup rik,\cr \left|A\right| &= \sum_i A\multisubsup rik \alpha\multisubsup rik.\cr } $$

Die Summen sind über alle $n\choose r$ Kombination $(k_1,\ldots,k_r)$, bzw. $(i_1,\ldots,i_r)$ zu erstrecken.

3. Nach dem oben hergeleiteten gilt offensichtlich leicht allgemeiner

$$ \sum_k A\multisubsup rik \alpha\multisubsup r\ell k = \cases{ \left|A\right|, & falls $i_\nu=\ell_\nu$,\cr 0, & sonst.\cr } $$

Für $r=1$ erhält man das übliche Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte insbesondere

$$ \pmatrix{a_{11} & \ldots & a_{1n}\cr \vdots & \ddots & \vdots\cr a_{n1} & \ldots & a_{nn}\cr} \pmatrix{\alpha_1^1 & \ldots & \alpha_n^1\cr \vdots & \ddots & \vdots\cr \alpha_1^n & \ldots & \alpha_n^n\cr} = \pmatrix{\left|A\right| && 0\cr &\ddots&\cr 0&&\left|A\right|\cr}. $$

Wie üblich für $\xi_i^j$: $i$ Zeilenindex, $j$ Spaltenindex, für $(\alpha)$ also transponierte Matrix. Damit liegt eine explizite Beschreibung der inversen Matrix vor, also $\alpha_i^j / \left|A\right|$ für das $(j,i)$-Element der Inversen.

4. Satz: (Minor Inverser) Es sei $B=A^{-1}$, wobei $A$ invertierbar sei. Jeden Minor der Inversen kann man ausdrücken durch die Adjunkte der Ursprungsmatrix:

$$ B\multisubsup rik = {\alpha\multisubsup rik\over\left|A\right|} = {(-1)^m\over\left|A\right|} A\multisubsup {n-r}{i'}{k'}, \qquad m = i_1+\cdots+i_r + k_1+\cdots+k_r. $$

Beweis: Nach Cauchy/Binet ist

$$ \sum_k A\multisubsup rik B\multisubsup rk\ell = \cases{ 1, & falls $i_\nu=\ell_\nu$ $\forall\nu$,\cr 0, & sonst.\cr} \tag{*} $$

Nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz ist

$$ \sum_k A\multisubsup rik \alpha\multisubsup r\ell k = \cases{ \left|A\right|, & falls $i_\nu=\ell_\nu$ $\forall\nu$,\cr 0, & sonst.\cr} $$

Es sind $(A\multisubsup rik)_k$ und $(\alpha\multisubsup rk\ell)_k$ beides Matrizen mit ${n\choose r}={n\choose n-r}$ Zeilen und Spalten. Nach $(*)$ ist $(B\multisubsup rk\ell)_k$ offensichtlich Inverse, genauso aber auch $\alpha\multisubsup rik / \left|A\right|$. Da Inversen eindeutig bestimmt sind, folgt Gleichheit. ☐

5. Beispiel: Sowohl für Cauchy/Binet, Laplaceschen Entwicklungssatz als auch Minoren Inverser. Es seien

$$ A = \pmatrix{ 13 & 14 & 6 & 4\cr 8 & -1 & 13 & 9\cr 6 & 7 & 3 & 2\cr 9 & 5 & 16 & 11\cr }, \qquad A^{-1} = \pmatrix{ 1 & 0 & -2 & 0\cr -5 & 1 & 11 & -1\cr 287 & -67 & -630 & 65\cr -416 & 97 & 913 & -94\cr }. $$

(1) Die Determinante von $A$ berechnet man z.B. so:

$$ \left|A\right| = A_{12}^{12} A_{34}^{34} - A_{12}^{13} A_{34}^{24} + A_{12}^{14} A_{34}^{23} + A_{12}^{23} A_{34}^{14} - A_{12}^{24} A_{34}^{13} + A_{12}^{34} A_{34}^{12} = 1. $$

Hierbei muß nicht wie bei dem Laplaceschen Entwicklungssatz nach einer Zeile (oder Spalte) immer ein Vorzeichenwechsel von einem Term zum nächsten stattfinden.

(2) Es ist $AB=:C=I$. Also nach Cauchy/Binet wie oben $4\choose2$ Summanden

$$ C_{23}^{34} = \left|\matrix{0&0\cr 1&0\cr}\right| = A_{23}^{12} B_{12}^{34} + A_{23}^{13} B_{13}^{34} + A_{23}^{14} B_{14}^{23} + A_{23}^{23} B_{23}^{34} + A_{23}^{24} B_{24}^{34} + A_{23}^{34} B_{34}^{34} = 0. $$

(3) Für den Minor $B_{12}^{34}$ der Inversen $B$ rechnet man

$$ B_{12}^{34} = \left|\matrix{-2&0\cr 11&-1\cr}\right| = {(-1)^{10}\over1} A_{12}^{34} = \left|\matrix{6&4\cr 13&9\cr}\right| = 2, $$

genauso

$$ B_{23}^{24} = \left|\matrix{1&-1\cr 67&65\cr}\right| = (-1)^{11} A_{13}^{14} = -\left|\matrix{13&4\cr 6&2\cr}\right| = -2. $$

5. Weitere Folgerungen aus dem Satz von Cauchy/Binet

Aufgrund seiner großen Bedeutung sei für den Determinantenmultiplikationssatz von Cauchy/Binet ein weiterer Beweis angegeben, der nicht Bezug nimmt auf das äußere Produkt.

1. Satz: (Satz von Cauchy/Binet) Es sei $C=AB$. Dann gilt $C_{1\ldots r}^{1\ldots r} = \sum_i A\multisup ri B\multisub ri$.

Beweis: (für Cauchy/Binet) siehe Gantmacher, Felix R. (1908--1964), Gantmacher (1986). Man rechnet

$$ \eqalignno{ \left|\matrix{ c_{11} & \ldots & c_{1r}\cr \vdots & \ddots & \vdots\cr c_{r1} & \ldots & c_{rr}\cr }\right| &= \left|\matrix{ \sum_{i_1=1}^n a_{1i_1}b_{i_11} & \ldots & \sum_{i_r=1}^n a_{1i_r}b_{i_rr}\cr \vdots & \ddots & \vdots\cr \sum_{i_1=1}^n a_{ri_1}b_{i_11} & \ldots & \sum_{i_r=1}^n a_{ri_r}b_{i_rr}\cr }\right| &\cr &= \sum_{i_1,\ldots,i_r=1}^n \left|\matrix{ a_{1i_1}b_{i_11} & \ldots & a_{1i_r}b_{i_rr}\cr \vdots & \ddots & \vdots\cr a_{ri_1}b_{i_11} & \ldots & a_{ri_r}b_{i_rr}\cr }\right| &\cr &= \sum_{i_1,\ldots,i_r=1}^n A\multisup ri b_{i_11}\ldots b_{i_rr}. &\cr } $$

Unter allen $n^r$ Summanden sind nur $n(n-1)\ldots(n-r+1)={n\choose r}r!$ Summanden von Interesse, bei denen die Minoren $A\multisup ri$ nicht zwei, drei, $\ldots$, $r$ gleiche Spalten enthalten. Von den ${n\choose r}r!$ sind aber wiederum nur $n\choose r$ echt verschieden, die restlichen sind nichts anderes als Vertauschungen zweier Spalten. Also rechnet man weiter

$$ \eqalignno{ &\phantom{{}={}} \sum_{1\le i_1\lt \cdots\lt i_r\le n} \: \sum_{(\nu_1,\ldots,\nu_r)\in{\rm Perm}(i_1,\ldots,i_r)} \sigma(\nu_1,\ldots,\nu_r) A\multisup ri b_{\nu_11}\ldots b_{\nu_rr} \cr &= \sum_{1\le i_1\lt \cdots\lt i_r\le n} A\multisup ri \sum \sigma(\nu_1,\ldots,\nu_r) b_{\nu_11}\ldots b_{\nu_rr} \cr &= \sum_{1\le i_1\lt \cdots\lt i_r\le n} A\multisup ri B\multisub ri . \cr } $$

☐

2. Der Satz von Cauchy/Binet liest sich für mehr als zwei Matrizen wie folgt

$$ \eqalignno{ (AB)_i^j &= \sum_k A_i^k B_k^j, \cr (ABC)_i^j &= \sum_{k,\ell} A_i^k B_k^\ell C_\ell^j, \cr (ABCD)_i^j &= \sum_{k,\ell,m} A_i^k B_k^\ell C_\ell^m D_m^j, \cr (ABCDE)_i^j &= \sum_{k,\ell,m,p} A_i^k B_k^\ell C_\ell^m D_m^p E_p^j. \cr } $$

3. Es sei

$$ {\cal A}_p := (A\multisubsup pik)_{i_1\lt \cdots\lt i_p,{\mskip 3mu}k_1\lt \cdots\lt k_p} \in \mathbb{C}[\textstyle{{n\choose p}\times{n\choose p}}] $$

die ^{$p$-te assoziierte Matrix} zu $A$.

Die Anordnungen seien in lexikographischer Reihenfolge durchlaufen. Beispielsweise erhält man für eine $4\times4$ Matrix $A$ die $6\times6$ Matrix

$$ {\cal A}_6 = \pmatrix{ A_{12}^{12} & A_{12}^{13} & \ldots & A_{12}^{34}\cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\cr A_{34}^{12} & A_{34}^{13} & \ldots & A_{34}^{34}\cr } $$

Eine Umformulierung des Satzes von Cauchy/Binet ist: Aus $C=AB$ folgt ${\cal C}_p = {\cal A}_p {\cal B}_p$, $p=1,2,\ldots,n$. Insbesondere: Aus $B=A^{-1}$ folgt ${\cal B}_p = {\cal A}_p^{-1}$, $p=1,2,\ldots,n$.

4. Satz: Es sei $A=(a_{ij})_{i,j=1}^n$ und

$$ \left|A-\lambda I\right| = (-\lambda)^n + c_{n-1}(-\lambda)^{n-1} + c_{n-2}(-\lambda)^{n-2} + \cdots + c_1(-\lambda) + c_0. $$

Dann gilt

$$ c_{n-1} = \sum_{1\le i\le n} a_{ii}, \qquad c_{n-2} = \sum_{1\le i_1\lt i_2\le n} A_{i_1i_2}^{i_1i_2}, \qquad c_{n-3} = \sum_{1\le i_1\lt i_2\lt i_3\le n} A_{i_1i_2i_3}^{i_1i_2i_3}, \quad \ldots,\quad c_0 = A_{1\ldots n}^{1\ldots n}=\left|A\right|. $$

Beweis: Siehe Felix Ruvimovich Gantmacher (1908--1964), Gantmacher, 1986, "Matrizentheorie", §3.7. Die Potenz $(-\lambda)^{n-p}$ tritt in denjenigen Termen von $\left|A-\lambda I\right|$ auf, die

$$ a_{k_1k_1}-\lambda, {\mskip 5mu} a_{k_2k_2}-\lambda, {\mskip 5mu} \ldots, {\mskip 5mu} a_{k_{n-p}k_{n-p}}-\lambda, \qquad k_1\lt \cdots\lt k_{n-p} $$

enthalten. Anwendung des allgemeinen Laplaceschen Entwicklungssatzes entwickelt nach $(k_1,\ldots,k_{n-p})$ liefert

$$ \left|A-\lambda I\right| = (a_{k_1k_1}-\lambda) (a_{k_2k_2}-\lambda) \ldots (a_{k_{n-p}k_{n-p}}-\lambda) A_{i_1\ldots i_p}^{i_1\ldots i_p} + \hbox{Rest}, $$

wobei $(i_1,\ldots,i_p)$ die zu $(k_1,\ldots,k_{n-p})$ komplementäre Anordnung ist, also $\{k_1,\ldots,k_{n-p},{\mskip 3mu}i_1,\ldots,i_p\} = \{1,\ldots,n\}$. Bildet man alle möglichen ${n\choose n-p}={n\choose p}$ Kombinationen von $n-p$ Elementen $k_1<\cdots<k_{n-p}$, die besagte Diagonalelemente enthalten, so erhält man genau $n\choose p$ Minoren als Summe, die die Koeffizienten vor $(-\lambda)^{n-p}$ ausmachen. ☐

5. Beispiel: zu $c_{n-k}=\sum_i A\multisubsup kii$ im Falle $n=3$. Für

$$ \left|\matrix{ a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13}\cr a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23}\cr a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda\cr }\right| $$

erhält man

$$ \eqalignno{ &\phantom{=} (-\lambda)^3 + (a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2 + (a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} a_{11}a_{33}-a_{31}a_{13}+a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23})(-\lambda) + \left|A\right| &\cr &= (-\lambda)^3 + (A_1^1+A_2^2+A_3^3)\lambda^2 + (A_{12}^{12}+A_{13}^{13}+A_{23}^{23})(-\lambda) + \left|A\right|. &\cr } $$

6. Eine direkte Folge ist der Vietascher Wurzelsatz. Vieta (siehe Viète), Fran\c cois Viéte (1540--1603). Entweder benutzt man eine Jordansche Normalform ($A=XJX^{-1}$) oder eine Schursche Normalform ($A=UT\adj U$). Das charakteristische Polynom bleibt bei einer Ähnlichkeitstransformation invariant, daher

$$ c_{n-k} = \sum_{i_1\lt \cdots\lt i_k} \lambda_{i_1}\ldots\lambda_{i_k} = \sum_{i_1\lt \cdots\lt i_k} A\multisubsup kii. $$

Es wird nicht behauptet, daß i.a. $\lambda_{i_1}\ldots\lambda_{i_k}=A\multisubsup kii$. Beispielsweise für eine invertierbare Begleitmatrix $C_1\in\mathbb{C}^{n\times n}$ gilt $\lambda_1\ldots\lambda_k\ne (C_1)_{1\ldots k}^{1\ldots k}=0$, für $k<n$.

7. Satz: Bei zwei diagonalähnlichen Matrizen $A,B\in\mathbb{C}^{n\times n}$ mögen sämtliche Eigenvektoren gleich sein. Dann gilt: $AB=BA$, d.h. $A$ und $B$ kommutieren.

Beweis: $X$ enthalte sämtliche Eigenvektoren, $D_1=\mathop{\rm diag}\lambda_i$, $D_2=\mathop{\rm diag}\mu_i$, $A=XD_1X^{-1}$, $B=XD_2X^{-1}$. Also $AB=XD_1X^{-1}XD_2X^{-1}=XD_1D_2X^{-1}=XD_2X^{-1}XD_1X^{-1}=BA$. ☐

8. Satz: Es gelte $AB=BA$. Dann gilt: $A$ und $B$ haben gemeinsame Eigenvektoren.

Beweis: Siehe James H. Wilkinson (1919--1986), Wilkinson (1965) "The Algebraic Eigenvalue Problem", siehe Gantmacher, Felix R. (1908--1964), Gantmacher (1986) "Matrizentheorie", §9.10. Für ein beliebiges Eigenelement $(\lambda,x)$ von $A$ gilt $AB^kx=\lambda B^kx$, $k=0,1,2,\ldots$ In der Vektorfolge $x$, $Bx$, $B^2x$, $\ldots$ seien die ersten $p$ Vektoren linear unabhängig, also der $(p+1)$-te Vektor $B^px$ ist eine Linearkombination der $p$ vorhergehenden. Der Unterraum ${\cal S}:=\left<x,Bx,\ldots,B^{p-1}x\right>$ ist bzgl. $B$ invariant, also $B{\cal S}\subseteq\cal S$, daher existiert ein Eigenvektor $y\in\cal S$ für $B|\cal S$, damit auch für $B$. $AB^kx=\lambda B^kx$ zeigt, daß $x$, $Bx$, $B^2x$, $\ldots$ Eigenvektoren zum selben Eigenwert $\lambda$ sind. Insbesondere jede Linearkombination dieser Vektoren ist Eigenvektor von $A$, also auch $y\in\cal S$. ☐

9. Bemerkung: Beim Beweis war wesentlich, daß $B$ einen Eigenvektor besitzt. Bei komplexen Matrizen ist dies aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra klar. Bei reellen Matrizen (über $\mathbb{R}$) braucht kein reeller Eigenwert zu existieren und somit auch kein Eigenvektor. Die Drehungsmatrix $T={\cos\alpha{\mskip 3mu}-\sin\alpha\choose\sin\alpha{\mskip 3mu}\cos\alpha}$ hat für geeignetes $\alpha$ keinen reellen Eigenwert. Anschaulich ist dies ersichtlich, weil nicht jede Drehung streckt, staucht oder Fixpunkte hat. Algebraisch ist dies ersichtlich, weil $\det(A-\lambda I)= \lambda^2-2\lambda\cos\alpha+1=(\lambda-\cos\alpha)^2+(1-\cos^2\alpha)$ nicht für jedes $\alpha$ über $\mathbb{R}$ zerfällt. Sehr wohl hat $T$ jedoch in $\mathbb{C}$ die beiden Eigenwerte $\lambda=\pm i\sin\alpha$. Der Satz bleibt richtig, wenn man im Reellen zusätzlich fordert, daß $B$ nur reelle Eigenwerte hat, z.B. falls $B$ hermitesch ist. Der Satz bleibt auch richtig, wenn man voraussetzt: $A$ und $B$ enthalten $1\times1$ Jordanblöcke (lineare Elementarteiler).

10. Satz: Es sei $A\in\mathbb{C}^{m\times n}$ und $B\in\mathbb{C}^{n\times m}$. Sind beide Matrizen quadratisch ($m=n$) so haben $AB$ und $BA$ dasselbe charakteristische Polynom und damit die gleichen Eigenwerte samt Multiplizitäten. Im Falle $m\ne n$ haben $AB$ und $BA$ die gleichen Eigenwerte samt Multiplizitäten außer, daß das Produkt der höheren Ordnung $\left|m-n\right|$ zusätzliche Nullen im Spektrum hat.

Beweis: siehe Wilkinson, J.H., Wilkinson (1965). Es ist

$$ \left|\matrix{ I&0\cr -B&\mu I\cr }\right| \left|\matrix{ \mu I&A\cr B&\mu I\cr }\right| = \left|\matrix{ \mu I&A\cr 0&\mu^2I-BA\cr }\right| $$

und

$$ \left|\matrix{ \mu I&-A\cr 0&I\cr }\right| \underbrace{ \left|\matrix{\mu I&A\cr B&\mu I\cr}\right| }_{{}=:\alpha} = \left|\matrix{ \mu^2I-AB&0\cr B&\mu I\cr }\right|. $$

Also

$$ \mu^n \alpha = \mu^n \left|\mu^2I-BA\right| = \mu^n \left|\mu^2I-AB\right|. $$

Für $\mu=0$ beachte man $\left|AB\right|=\left|BA\right|$. Der Fall $m\ne n$ wird genauso bewiesen. ☐

Den Beweis hätte man auch direkt über die Koeffizienten des charakteristischen Polynomes führen können. Nämlich mit

$$ \eqalignno{ \left|AB-\lambda I\right| &= (-\lambda)^n+c_{n-1}(-\lambda)^{n-1}+ \cdots+c_1(-\lambda)+c_0,\cr \left|BA-\lambda I\right| &= (-\lambda)^n+d_{n-1}(-\lambda)^{n-1}+ \cdots+d_1(-\lambda)+d_0,\cr } $$

berechnet man die $c_i$ und $d_i$ zu

$$ c_{n-k} = \sum_i (AB)\multisubsup kii = \sum_{i,\ell} A_i^\ell B_\ell^i, \qquad d_{n-k} = \sum_i (BA)_i^i = \sum_{i,\ell} B_i^\ell A_\ell^i. $$

Vertauschung von $i$ und $\ell$ in einer der beiden Summen zeigt Gleichheit, einmal abgesehen von möglichen “Stellenverschiebungen”. Also $c_{n-k+\ell}=d_{n-k}$, was aber gerade Multiplikation des charakteristischen Polynomes mit $\lambda^\ell$ bedeutet.